「MySQL improved extension」の「i」という説が有力です。
「MySQL」を「改善(improved)」して「拡張(extension)」
以前は「mysql_query」などMySQLにiがつかない関数が使われていたが、PHP5.5以降は非推奨となっています。その代わりに作られたのがMySQLiになります。
ネット等で調べるときは注意です。