ウィジェットからサイト内検索フォームを設置するのではなく、テンプレートに直にサイト内検索フォームを設置するにはget_search_form関数を呼び出します。
<?php get_search_form(); ?>
デザインの都合上、HTMLコードを変更したい場合は検索用HTMLコードをテンプレートに直に記述しても構いません。
<form class="Search" method="get" action="<?php echo esc_url( home_url() ); ?>">
<div class="Search__inner">
<label class="Search__label" for="s">検索：</label>
<input class="Search__entry" type="text" value="<?php echo get_search_query(); ?>" name="s" id="s">
<input class="Search__submit" type="submit" value="検索">
</div>
</form>
このページで出てくる関数
WordPress関数は「公式サイトのドキュメント」で確認しましょう。